Propositio 1.

Si corpora quotqunque concurrant quomodocunque, aequalis sempre manet potentia absoluta hoc est, summa factorum ex ponderibus seu materiae quantitatibus cujusque corporis in altitudines ductis, ad quas vi suarum celeritatum ascendere possunt, seu factum ex pondere sive quantitate materiae omnium simul sumtorum ducta in altitudinem centri gravitatis communis, ad quam id vi celeritatum praesentium in corporibus existentium ascendere posset.

De summa factorum ex pondere seu mole in altitudines jam constat ex demonstratis capite de Causa et Effectu. Nam per prop. 7 dicti cap. eadem manet potentia in corporibus, quae sola invicem agunt. Potentiae autem sunt in ratione composita ex simplice ponderum et duplicata velocitatum, seu ex composita ponderum et dictarum altitudinum (per prop. 15 ibid.). Porro eadem est quantitas summae ex ascensibus in corpora singula ductis, et facti ex ascensu centri gravitatis in summam corporum per prop. 14 cap. 2 Sect. 1 Part. II, quia altitudines intelliguntur perpendiculares adeoque inter se parallelae. Abstrahitur autem animus ab eo, quod fieret si durante concursu accederet actio gravitatis vel alia, quaecunque praeter jam conceptam a corporibus seu praeter eam quam habent in ipso concursu.

Propositio 2.

Si Elastrum, quatenus se restituit, in duo corpora agat, imprimet illis conatus corporibus reciproce proportionales.

Sint (fig. 192) duo corpora A et B connexa per Elastrum, quod se restituens in ipsa agat; veluti si sit compressum ea a se invicem repellendo, vel si sit distensum ea ad se invicem attrahendo; ajo celeritates quas accipiunt corpora, esse corporibus reciproce proportionales. Ponantur enim corpora esse pondera eo ipso dum ab Elastro moventur elevanda, ut si ponantur esse horizonte et suspensa a funibus perpendicularibus aequalibus ex C et D; manifestum est magis resistere, quod magis quam reciproca ad pondus ratione elevatur. Itaque conatus quos a corporibus accipiunt, corporibus reciprocos esse necesse est (per prop. 16 cap. de causa et effectu). Cumque id continuata restitutione semper contingat, etiam impetus vivi ex conatibus repetitis semper proportionalibus conflati seu impressae tandem celeritates erunt corporibus reciproce proportionales prorsus ut prop. 41 cap. de causa et effectu Sect. 4.

Propositio 3.

Iisdem positis, etiamsi plura duobus sint corpora, succedet quod propositione praecedenti diximus, aggregatum ex quibusdam simul sumtis pro uno corpore sumendo, et elevationem centri componentium pro elevatione ipsius aggregati. Itaque generaliter centrum gravitatis unius vel aggregati plurium accipiet celeritatem, quae sit ad celeritatem quam accipit centrum gravitatis reliquorum, reciproce ut pondera corporum quorum ea sunt centra gravitatis.

Ostenditur ut praecedens. Si corpora ex filis perpendicularibus suspensa intelligantur, distribuendo enim omnia corpora in duo aggregata et unumquodque aggregatum concipiendo ut unum corpus habens centrum gravitatis (veluti si per lineas rigidas connecti intelligantur), fieri non potest, ut centra magis quam reciproce pro ponderibus eleventur, cum illud pondus quod plus elevari debet, magis resistat; pondera autem velut in centra gravitatis redacta intelligi possint eadem potentia manente (per prop.3 cap.1 Sect. 1 Part. II).

Plura corpora simul ab uno eodemque Elastro se restituente impellentur, si aër compressus plura ostia a corporibus totidem obstructa inveniens corpora simul omnia propellat. Idemque continget in tormenti repulsa, dum emittitur globus. Et vis haec est alternativa, ita ut si unum non possit cedere, reliqua recipiant vim totam.

Propositio 4.

Si duo globi gemelli (hoc est aequales et per omnia similas) sibi occurrant in recta per amborum centra transeunte, et partes eorum post ictum quiescant ut ante; ambo regredientur ea qua venere velocitate et contraria directione in eadem recta (fig. 193).

Cum enim post concursum nec progredi possint (alioqui se penetrarent), nec flectere in latus, cum nulla sit ratio in quam potius partem flecti debeant, nec quiescere, alioqui effectus foret debilior causa, tanta quippe vi perdita, nisi scilicet eam transtulerint in partes, quod est contra hypothesin; regredi igitur debent, et ita quidem, ut in summa sit eadem vis quae ante. Sed cum nulla sit ratio cur unum plus virium altero accipiat, utrumque accipiet vim dimidiam. Et initio etiam unumquodque habebat dimidiam. Ergo eandem accipiet vim quam habebat ante. Sed idem corpus eandem accipiens vim quam habuit ante, etiam eandem accipit celeritatem. Igitur constat propositum.

Propositio 5.

Nulla dantur corpora perfecte inflexibilia.

Ponantur enim dari, itaque poterunt dari duo tales globi, iique concurrentes, ut in prop. praecedenti. Sed ita (fig. 193) globus in loco ₂A positus a conatu pergendi in directione, ut ₁A₂A, transibit ad conatum contrarium ₂A₃A, idque momento, quod est absurdum. Omnis enim mutatio fit per intermedia. Itaque in tali concursu cedere in partibus suis seu flecti corpora necesse est, ut paulatim deveniant ad quietem, et deinde Elastro se restituente motum contrarium priori recipiunt per gradus. Idem sic quoque ostenditur, quod necesse est in corporibus concurrentibus aliquando mutari velocitates, idque fieret in momento concursus, si corpora essent perfecte rigida. Sed nulla potest esse in Natura mutatio momentanea assignabilis sive notabilis, et proinde ab uno velocitatis gradu ad alium nisi per intermedios transiri non potest.

Hinc intelligitur, Atomos Naturae legibus consentaneos non esse. Caeterum quando nos corpora rigida adhibemus, ea intelligimus, quae flexilia sunt quidem, sed summa promtitudine se restituunt. Principium autem generale, quod mutationes vel transitus non fiant per saltus sive temporis sive aliorum determinantium respectu, maximi in Mathesi et Natura momenti est. Usi jam eo sumus in prop. 38 cap. de causa et effectu, et alibi ope ejus methodum ostendimus a posteriori opiniones non bene concinnatas dignoscendi. Videantur Novellae literariae Batavae anni 1687 mense Julio.

Propositio 6.

Corpora non agunt immediate in se invicem motibus suis, nec immediate moventur, nisi per sua Elastra.

Cum omnia corpora sint flexilia (per praecedentem) et facilius sit corpus utcunque firmum flectere nonnihil, quam ei impetum dare vel adimere (per prop. 30 cap. de causa et effectu) itaque corpus flectetur prius nonnihil, quam ullum determinatum velocitatis gradum vel impetum accipere possit ab alio, vel ejus actione amittere. Cumque eadem ratio semper subsistat, et flexu licet facto rursus novus flexus facilior sit quam impulsus, quo semper determinatae est velocitatis, ejus scilicet minimum quae est impellentis; unde semper assumi potest flexus minor, donec plane vis impellendi consumatur. Nunquam igitur corpus, nisi flectetur ab alio, impelletur autem non nisi ab Elastro suo restituente, quod statim incipit agere ad corpora invicem dimovenda.

Quod corpora prius flectantur quam impellantur, discimus etiam experimentis. Hinc si magna sit ictus velocitas, potius frangentur, quam movebuntur, ut videmus ictu glandis plumbeae ex pyrio sclopeto potius perforari januam paulum apertam quam claudi. Etsi enim alioqui majore vi sit opus ad perforandum quam claudendum, hic tamen majore vi opus fuisset ad subito claudendum, quam subito perforandum requirebatur. Hinc patet etiam, corpus unum semet vi elastri sui seu motus intestini ab alio repellere seu dimovere, ut qui intra navem sunt eam conto a ripa repellunt. Ex hujus autem propositionis demonstratione attente considerata poterunt paradoxa elici, unde apparebit naturam corporis et motus longe aliam esse, quam credi solet. Sed ab iis nunc abstineo.

Propositio 7.

Si duo corpora in se invicem agant, eadem est vis agendi respectiva seu (in casu cuncurrendi) vis ictus, in quocunque demum corpore sit motus, modo eadem sit vis intendendi elastrum, seu celeritas mutandi distantiam corporum, quam voco respectivam. Et aequalis est actio et passio utriusque invicem exercita. Idemque ad plura corpora porrigitur ad modum popositionis 3.

Nam (fig. 194) Elastrum, quo mediante corpus A agit in B vel contra, eodem modo intenditur, posita aequali celeritate respectiva, appropinquandi scilicet aut recedendi, quibus verbi gr. linea elastica AB distenditur aut coarctatur. Actio autem corporis in corpus non est nisi per Elastrum (ex prop. 6), et Elastrum aequaliter agit in ambo corpora simul, vires ipsis imprimens aequales respectivas (per prop. 2 hic; adde prop. 41 Sect. 4). Itaque ambo aequaliter patiuntur, adeoque (cum non nisi a se invicem licet mediante Elastro patiuntur) er aequaliter invicem agunt. Atque idem est intelligendum de concursu corporum immediato, ubi Elastrum est in partibus ipsorum.

Propositio 8.

Duo corpora directe concurrentia velocitatibus quae sint corporibus reciproce proportionales, tota vi sua invicem agunt, et qua velocitate venere reflectuntur, si modo satis elastica sint, nec vis ictus a partibus ipsius corporis absorbeatur.

Sistunt enim se mutuo (per prop. 41 Sect. 4). Itaque tota vis qua agunt ab ipsis amissa transfertur in eorum Elastrum, quippe cum (per prop. 6 hic) non nisi ab Elastro in contrarias partes agi possint, progredi autem vel deflectere nequeant. Accipiunt autem velocitates reciproce proportionales (per prop. 2 hic) adeoque (cum summa eandem vim dare debeat per prop. 1 hic) priores.

Propositio 9.

Vis respectiva qua duo corpora possunt agere in se invicem, est ea pars vis absolutae, quae habetur corporibus velocitates tribuendo ipsis corporibus reciproce proportionales et tantas, ut inde sequatur eadem celeritas respectiva, quam nunc ob concursum praesentem habent.

Ponamus (fig. 195) distantiam corporum fuisse ₁A₁B, et deinde esse ₂A₂B, et ita ista mutatione intensum esse Elastrum CD, quo mediante corpora invicem agunt. Jam si esset celeritas ₁A₂A ad celeritatem ₁B₂B, ut B ad A, corporum hos motus habentium vis absoluta aequaretur vi eorum respectivae (per prop. 8). Et vis respectiva corporum sic motorum aequatur vi respectivae eorundem motu aliter utcunque distributo motorum, dummodo eadem maneat celeritas respectiva accedendi ad se invicem, seu eadem differentia inter ₁A₁B et ₂A₂B (per prop. 7). Ergo vis absoluta dicta aequatur respectivae propositae.

Propositio 10.

Vis agendi corporum respectiva per eorum actionem in se invicem non mutat quantitatem, nec inde mutatur celeritas respectiva, modo corpora non nisi invicem agant et patiantur, nec portio virium ab eorum partibus retineatur. Quae autem de duobus corporibus dicta sunt, ad plura producuntur in modum propositionis 3 vel 7.

Nam vis agendi respectiva translata est in Elastrum (per quod solum corpus agit in corpus prop. 6), et cum ea vis non absorbeatur vel a tertio aliquo corpore vel a partibus corporum (ex hypothesi), corporibus redditur ab Elastro. Jam si eadem maneat vis respectiva, necesse est, ut eadem quoque maneat celeritas respectiva, alioqui corpora eandem in se agendi vim respectivam non haberent, si forte denuo concurrerent aut in se agerent (per prop. 7). Idem sic intelligitur: Celeritas respectiva eadem eandem facit Elastri intensionem. Elastri autem seu ictus vis est tanta quanta corporum amborum celeritatibus reciproce proportionalibus eandem respectivam efficientibus latorum (per prop. 9). Haec ergo vis ablata est, et periret nisi redderetur corporibus. Sed ex hypothesi non absorbetur a partibus aut causa externa; ergo tota redditur. Quod quomodo fiat, ita distincte cognoscemus. Dum (fig. 196) A et B concurrunt celeritatibus ₁A₂A et ₁B₂B, et ex ₁A₁B transeunt in ₂A₂B, secemus rectam ₁A₁B in puncto C sic, ut sit AC ad BC, ut B ad A; erit vis ictus perinde ac si concurrissent A celeritate ₁A₁C, et B celeritate ₁B₁C (per prop. 9). Haec vis absoluta, quam componerent, si duo motus detrahantur a vi absoluta totali, residua vi iret totum compositum simul. Utique enim vis residua est in ipso composito sublata vi ictus, alioquin aliquid de tota vi periret contra prop. 1. Totum autem compositum iret simul, si corpora a se invicem per restitutionem Elastri non iterum repellerentur; nam quamdiu adhuc corpora se urgent, nondum totam vim ictus in Elastrum transtulere (vid. demonstr. prop. 6), eo vero momento quo se urgere desinunt, manent simul (perdito conatu magis appropinquandi seu celeritate respectiva) nisi quid novum superveniat, quod est restitutio Elastri. Jam si Elastrum motu communi cum corporibus feratur, ea a se invicem dirimet eodem modo ac si motus ille communis abesset (ut in prop. 2), celeritate scilicet reciproce proportionali singulorum tanta, quantam vis Elastri et magnitudo corporum, id est vis respectiva prior nempe Elastro impressa postulat. Necesse est ergo eandem corporibus dari celeritatem recedendi, quae prius appropinquandi fuit, seu A abscedere a concursu celeritate ut ₁A₁C, et B celeritate ut ₁B₁C, adeoque eandem esse quae ante celeritatem respectivam. Celeritas autem communis, qua itura essent si abesset restitutio, ea foret, quae ante concursum fuit centri gravitatis, nempe ₁C₂C, ut mox apparebit.

Si tamen corpora non satis elastica sint, et ita partes compressae vim absorbeant nec prorsum restituant corporibus, tantundem decidit potentiae respectivae, et proinde si corpora ex materia quadam molli et tenui constent, ita ut post ictum cohaereant, perit vis respectiva, et restat solummodo vis progressiva totius, de quo jam. Quodsi materia non satis perfecte elastica sit, ut lignum, pars vis respectivae seu potentiae ictus absorbebitur a partibus ligni, pars reddetur corporibus totis, in quantum a se invicem ob ictum reflectentur.

Propositio 11.

Potentia absoluta aggregati plurium corporum ex motu eorum orta componitur ex vi eorum respectiva agendi in se invicem, et vi progressiva (agendi in tertium) per modum unius seu vi directionis.

Sint corpora quotcunque in motu vel quiete posita, et ponantur subito connecti a lineis rigidis vel elasticis si placet (quod vim nec auget nec minuit, cum thema hoc per se non sit activum), et omnis vis quae est in corporibus recedendi a se invicem vel accedendi, hoc est vis respectiva a lineis rigidis vel elasticis sustinebitur, et in elastrum vel vinculum qualecunque transferetur. Et haec vis ab Elastro aut firmitate vinculorum recepta, a tota potentia praesentis thematis, quippe permanente (per pror. 1), detracta relinquet potentiam, qua corpus totum unitum, ex corporibus pluribus datis compositum, progredi conabitur.

Propositio 12.

Non mutatur per concursum vis progressiva seu vis directionis in summa quae est composita ex pluribus corporibus, sed eadem est ante et post concursum, et proinde in per se libere motis, eademque quantitas non quidem motus, sed tamen progressus secundum quasqunque parallelas, eademque celeritas centri gravitatis totius compositi remanebit. Nec refert, corpora sint mollia an dura seu perfecte elastica.

Nam potentia absoluta semper manet eadem (per prop. 1) et componitur ex vi respectiva seu ictus, et progressiva seu directionis totalis (per prop. 11); manet autem eadem vis respectiva sive in corporibus sive in eorum partibus absorbentibus (per prop. 1); ergo et vis directionis totalis eadem manet. Porro cum eadem maneat vis progrediendi, ut ostendimus, ea scilicet quae vi respectiva adempta, seu massa in unum rigidum congelascente, superesset, utique eadem quoque manet celeritas progrediendi, nam eadem vi in eodem corpore manente, eadem manet celeritas. Itaque et eadem quantitas progressus seu factum ex celeritate progrediendi in totam corporis molem seu pondus, si scilicet celeritas illa seu progrediendi impetus exitum sortiatur, quod fit si scilicet libere et per se moveantur corpora, alioqui stabit ea celeritas intra conatum, ut si centro immobili inter circulandum corpora retineantur, ne directionem quam secundum tangentes habent, prosegui possint; quamquam haec impedimenta non revera, sed in speciem tantum contingere inferius ostendemus, cum nullus conatus destruatur, sed tantum aliis componatur. Porro si corpora per se libere moveantur, seu vi sui impetus pristini ac secundum suam directionem, movebuntur linea recta ac motu uniformi. Et proinde tunc centrum gravitatis eadem semper celeritate ibit in eadem recta ad easdem partes. Nam intelligantur exstingui corporum vires respectivae, quod fieri potest, si intelligamus corpori cuilibet celeritatem respectivam aequalem et contrariam priori (recedendi si accesserat, et contra) et corporalibus sese respicientibus reciproce proportionalem esse additam; ita enim exstinguitur ille motus, qui ut prop. 9 ostendimus vim respectivam constituit, quippe unus contrario aequali compensatus; tunc igitur tota massa cessante mutatione distantiae inter partes massae movebitur per motum unius rigidi motu rectilineo aequidistributo, adeoque centrum gravitatis uniformiter et directe progredietur. Utor autem hic potius hypothesi motus compensati quam connexionis in rigidum, ne in casu obrigescentiae progressio pro parte in circulationem convertatur, quae rectilinea manebit, si motibus uniformibus rectilineis jam existentibus (ex hypothesi) nihil aliud quam conatus compensantes rectilinei addantur per prop. 3 cap. 2 Sect. 1 Part. II. Porro ante hanc innovationem, quae distantiarum mutationem sustulit, totius massae centrum gravitatis eodem ut nunc modo movebatur, quod inde ostendo, quia duorum quorumlibet corporum centrum eodem modo movebatur ut nunc. Ergo et centrum gravitatis totius aggregati. De centro autem duorum quorumlibet res sic patet, quia sive corpora a se non recedant sive recedant celeritatibus reciproce proportionalibus ad corpora, eodem loco manet centrum gravitatis. Hinc ergo denuo demonstratum habemus (quod supra cap. de directione prop. 11 primum in parallelis ostenderamus, et prop. 17 cap. ejusdem ex solis considerationibus Geometriae in libero corporum non concurrentium motu eruimus), punctorum quotcunque adeoque et corporum lineas rectas motu uniformi describentium centrum gravitatis in linea recta motu uniformi progredi, et quidem eadem celeritate, qua tota massa sublata vi respectiva progredi debet. Quae celeritas habetur, vim respectivam (ex prop. 9 determinandam in singulis corporibus, adeoque et in toto) detrahendo a vi totius absoluta (per prop. 11), restabit vis progressionis, unde ex data massa corporis habetur et celeritas progressionis hujus massae. Caeterum hic progressus centri gravitatis totalis non mutatur a corporum concursu, quia ipsorum concurrentium (in quibus mutatio ista credi posset) centrum gravitatis a concursu non mutatur, in quantum enim in se invicem agunt, agunt per Elastrum (prop. 6), quod celeritatem respectivam (veluti velocitatem a se invicem recedendi) inter ipsa distribuit proportione corporibus reciproce proportionali (per prop. 2 et 3 hic); at quae ad se accedunt vel a se recedunt celeritate reciproce proportionali, ex hoc locum centri gravitatis non mutant, quippe quod etiam corporum distantiam in partes secat, corporibus ad quos pertinent reciproce proportionales. In universum igitur, corporum per se (seu vi pristina retenta) et libere (sine retinaculo) adeoque lineis rectis et motu uniformi motorum centrum commune gravitatis uniformiter pergit in recta ad easdem partes, sive corpora haec inter se concurrant, sive non. Idemque est, si motus esset proportionaliter crescens. Porro centro gravitatis directe et uniformiter progrediente, etiam corporum per se libere motorum, quorum hoc est centrum, quantitas progressus in easdem partes in iisdem parallelis manebit idem. Nam (fig. 197) assumta recta quacumque LM, positoque puncta mobilia A, B, C progredi in rectis motu uniformi ₁A₂A, ₁C₂C, ₁B₂B, itaque etiam secundum parallelas huic rectae uniformiter progredientur celeritatibus quae repraesentabuntur rectis ₁a₂a, ₁x₂x, ₁b₂b, posito normales vel inter se parallelas ex dictis locis punctorum A, B, C in rectam LM esse ductas. Sed in motibus parallelis punctorum quibuscunque factum ex via centri gravitatis ut ₁x₂x in pondera punctorum A, B, seu in rectas AC + CB aequatur summae vel, si contrarii sint motus, differentiae facti ex pondere A ducto in suam viam ₁a₂a, et ex pondere B ducto in suam ₁b₂b, hoc est, quantitati progressus in summa (ut ostendimus prop. 12 cap. 2 sect. 1 Part. II.), et quod de punctis duobus, id de quibuscunque verum esse ostendimus, adeoque et de mobilibus quibuscunque quae per puncta constituuntur, seu nihil aliud sunt quam summae punctorum, hoc est corporum sufficientis ad evitandum errorem dato minorem parvitatis. Sed aliter quoque ostendi potest, quod de punctis, idem demobilibus quibuscunque verum esse, quorum puncta moventur motu rectilineo aequidistributo, hoc loco singula corpora moveri supponimus. Fit enim progressus corporis talis ex facto viae unius alicujus puncti in corporis pondus ductae, perinde ac si totum pondus in unum ex punctis (ex. gr. in centrum) esset redactum. Cum igitur assumtis parallelis ad rectam datam LM eadem sit quantitas summae progressus et facti ex progressu centri gravitatis totalis in summa corporum, progressus autem centri gravitatis ₁C₂C in easdem partes semper aequalis sit celeritatis, adeoque respectu ad parallelas rectae LM, ita ut progressus quoque ₁x₂x semper aequalis sit celeritatis; utique et summa totalis progressus in easdem partes (detractis scilicet progressibus contrariis si qui sunt per dict. prop. 12) secundum parallelas quascunque idem manebit.

Haec autem vera esse patet etiam, si per mollitiem corporum concurrentium pars ictus absorbeatur, traslata in concurrentium partes insensibiles, quoniam vis directionis totalis a vi ictus nullo modo pendet, nec per eam alteratur. Unde fit ut haec regula etiam sic satis vera reperiatur in corporibus sensibilibus, quae libere satis moventur, uti in pendulis observari potest, etsi pars potentiae respectivae in concursu pereat, et eatenus in praxi summa totius potentiae absolutae non conservetur. Detrimentum tamen ipsum factis aliquot exprimentis in datae speciei materia ad calculum revocari, et inde in reliquis ejusdem materiae praedici potest. Quodsi corpora per concursum cohaerescant, soli potentiae directricis conservationi locus erit, vi ictus amissa.

Caeterum observare operae pretium est, quod in vi respectiva conserveretur quantitas motus, itemque in vi directiva quantitas progressus, seu factum ex pondere in velocitatem, etsi alioqui potentiis conservatis celeritates non conserventur, ut prop. 40 cap. de Causa et Effectu ostendimus. Cujus rei ratio est, quod hic eadem quoque manet quantitas materiae. Sed eo ipso potentiae sunt in ratione composita coporum et quadratorum celeritatum, manente quantitate materiae, necesse est idem manere quadratum celeritatis, adeoque et ipsam celeritatem eandem. Manere autem semper eandem quantitatem, in quam duci debet potentia tam in vi ictus, quam in vi directrice, manifestum est. Nam in vi ictus seu respectiva eadem manet vis respectiva in quolibet corpore respectu cujusque alterius, quae est media vis ictus totalis, qui ab ipsis fieri invicem potest, adeoque eadem quoque manet ejusdem corporis respectiva celeritas, licet contrariam directionem recipiat. In quantitate progressus quoque eadem manet quantitas materiae, nempe totius corporum aggregati, ac proinde eadem vi progressiva seu directrice manente, etiam celeritas centri gravitatis seu progressus totius manet. Sed non ideo eadem manet quantitas motus in summa, quia progressus totalis invenitur detrahendo sibi progressus contrarios; unde eatenus compensando quantitas motus ex parte perit. Ex quo nascitur propositio sequens 13.

Propositio 13

Tum demum eadem manet quantitas motus ante concursum et post concursum, cum et ante concursum corpora ibant simul ad easdem partes, et post concursum rursus simul eunt ad easdem, non vero ad contrarias invicem partes. Quodsi ante concursum duo corpora sibi ibant in contrarias et post concursum rursus, secundum certas scilicet parallelas eatenus differentia inter quantitates motuum ante concursum aequatur differentiae post concursum. Quodsi corpora progressum ex consentiente mutent in contrarium vel contra, summa quantitatum motus in progressu consentiente aequabitur differentiae earundem in progressu contrario, secundum easdem scilicet utrobi parallelas in quibus contrarietas sumitur. Idemque locum habet in pluribus quatenus nonnulla tanquam aggregata in unum considerando, omnia simul pro duobus haberi possunt, ut supra.

Demonstratio manifesta est ex Scholio praecedente. Manet enim eadem quantitas progressus ante concursum; quae si per meram additionem progressuum (id est quantitatum motus) corporum amborum in utroque statu colligitur, utique manet et quantitas motus absoluta; quatenus vero detractione opus est in alter utro aut utroque statu, progressus iste integer est quantitatum motus secundum illas parallelas differentia. Atque ita eatenus motuum seu progresuum singulorum differentia in uno statu differentiae aut summae quae est in alio statu aequatur.

Propositio 14

Si corpora suo impetu moveantur, tunc quaecunque demum fiat hypothesis phaenomenis corporum quoad situs inter se semel satisfaciens in statu aliquo priore seu in causa, satisfaciet etiam in statu quocunque posteriore seu effectu, eademque semper prodibunt phaenomena, seu (ut paucis dicam) Hypotheses diversae a se invicem discerni non possunt.

Nam posito motu libero ex vi semel impressa praecedente hoc est rectilineo uniformi, ante concursum non possunt discerni hypotheses (quod quidem Geometrice constat ex prop. 16 cap. 2 sect. 1 Part. II.). Sed nec concursu discernuntur. Nam modo eadem sit corporum celeritas respectiva, corpora eodem modo agunt in se invicem, seu eadem sit vis ictus (per prop. 7 hic). Vis autem ictus transfertur in corporum Elastrum, et corpora concurrentia, nisi Elastrum ipsis vim ex toto aut parte restitueret, ferrentur simul (ut ostendimus ad prop. 10). Elastro igitur eam restituente duo componuntur Motus (non arbitrio fingentium nostro, sed ab ipsa natura rei), unus communis, alter proprius corporibus reciproce proportionalis, et quidem priori aequalis, atque adeo priorem reddens celeritatem respectivam (ut ostendimus prop. 10), si Elastrum totam vim acceptam restituat; sed si pars virium a partibus corporis non satis elastici absorbeatur, elastrum nihilominus quantam vim dabit corporibus, eandem dabit reciproca proportione, tantumque celeritas respectiva prior certa proportione imminuetur. Cumque haec omnia eodem modo fiant, quicunque fuerit verus corporum motus ante concursum, constat igitur per concursum quoque hypotheses discerni non posse.

Propositio 15

Si motus communis rectilineus corporibus addatur, eaedem manent eorum actiones mutuae eademque phaenomena inter ipsa. Et si corpora plura praeter motus proprios unius corporis (velut navis) motu communi rectilineo ferantur, nihil inde mutatur quoad proprios motus.

Motus enim communis distantias corporum inter se adeoque celeritates respectivas non mutat, ut manifestum est. Unde jam (per prop. 7 hic) etiam vires respectivae et (per demonst. prop. 16 cap. 2 sect. 1 Part. II.) phaenomena ipsorum inter se non mutantur.

Hinc sequitur, motuum compositionibus nos tuto uti posse salva potentia, quod tamen alioqui dubitationem aliquam recipiebat. Neque enim corpus, quod duabus celeritatibus aequalibus inter se compositis fertur, habet potentiam in directione composita aequalem summae potentiarum in directionibus componentibus, nisi cum directiones angulum rectum comprehendunt. Interim legum praecedentium beneficio natura nihilominus ejusdem potentiae absolutae conservationem consequitur, quae a composito motu aestimatur. Haec autem experimentis consentiunt. Etsi in navi motu recto progrediente nec succussiones patiente ludas motus ludicari, eadem phaenomena experiere quae in terra. Et quae ex navi projiciuntur sagittae, navem vi remorum avolantem consequuntur inque eam recidunt, experimento Gassendi, perinde ac in navem pro anchoris stantem, quia scilicet praeter motum projectionis, etiam motus navis sagitta habuit antequam inde sejungeretur. Unde qui cum magno aliquo corpore nec directe procedente defertur, et ab externis exploratae quietis aut cogniti motus notandis exclusus est, non habet quo cognoscat, utrum quiescentem an progredientem locum sit sortitus. In motibus circularibus aliisque curvilineis videntur haec prima fronte locum non habere, cujus causam et correctionem in sequentibus investigare operae pretium erit.

Propositio 17.

Omnes Motus sunt compositi ex rectilineis uniformibus.

Nam omnis motus per se est uniformis et rectilineus; actio autem omnis in corporibus constitit in motu. Itaque motus rectilineus non nisi impressione alterius, etiam per se rectilinei (salvo licet priore) supervenientis inflecti potest, ac proinde nulla intelligi potest origo motus curvilinei et difformis, nisi per compositiones rectilineorum uniformium.

Haec propositio ut ad sequentes quasdam demonstrandas adhiberi potest, ita vicissim demonstrari potest ex sequentibus, quippe quae et aliunde demonstrantur, ut apparebit in primis ad prop. 20. Hinc si corpus captum ab alio ex motu rectilineo in gyrum se vertere cogatur, arbitror revera pergere in recta linea, licet vi adhaesionis, quam a motu quodam derivo, ad centrum repellatur. Suspicor autem, Naturam arcanis quibusdam modis omnes suos conatus etiam particulares conservare et ad exitum perducere. Certe in concursu corporum aequalium contingit (quemadmodum infra ostendemus), ut celeritates absolutas ac directiones permutent inter se. Inde si certo tempore (fig. 198) A et B pervenerit ex 1A1B in 2A2B, et aequali tempore a concursu 2A2B perveniant in 3A3B fiet ut omnia perinde eveniant, ac si sine ullo concursu unumquodque suam viam fuisset prosecutum; loco enim ipsius A, quod semoto concursu pervenisset nunc in locum 3B, jam eo pervenit B, et loco ipsius B, quod semoto concursu pervenisset nunc in locum 3A, jam eo pervenit A. Cumque sibi sint aequalia, patet Naturam scopum suum aequipollenter obtinuisse. Et quemadmodum videmus Naturam in sono propagando res elasticas trementes secare per se in partes aequales, quod scilicet ea ratione melius consentiunt vibrationes; ita fieri potest, ut sponte Naturae ita fiant concursus, quasi corpora inaequalia ex pluribus partibus aequalibus componerentur. Hinc etiam cum omnes conatus quodammodo exitum habere arbitrer, si (fig. 199) corpora A, B radii cujusdam extremitatibus affixa circa medium velut centrum ferantur atque ita recedere ab eo conentur, arbitror revera recedere et tendere ab B ad C, sed impulsu contrario corporum insensibilium rursus versus centrum repelli a C ad 2B, neque aliam esse causam adhaesionis, ut mox amplius patebit.

Propositio 18.

Si in corporum concurrentium compositio ex concursu gyrus oriatur, is sit circa centrum commune gravitatis, et motibus contrariis reciproce proportionalibus seu respective aequalibus utrinque compensantur. Atque ita et vis respectiva eadem et vis progressiva seu progressus dicti centri rectus uniformis conservatur ut in molibus retilineis, ita et in circularibus uniformibus, aliisque curvilineis qui horum compositione nascuntur. Quodsi tales non sint motus, saltem tales intelligi possunt conatus, et speciatim ultimi conatus ante concursum, qui proinde dictos per se motus vel saltem, si impediantur, tales rursus conatus producent summam directionis conservantes.

Haec quidem directionis totalis conservatio sequitur ex praecedente, quoniam in rectilineis uniformibus veram esse supra ostendimus (prop. 12), et ex his per dictam praecedentem omnes alii componuntur. Sed hoc interpretandum foret subintelligendo motus quosdam insensibiles corporum insensibilium ambientium, quorum impressione corporum partes ad se invicem impelluntur, unde firmitas seu cohaesio exsurgit. Idem tamen, his etiam non comprehensis, aliunde ostendi potest, sumendo corpora firma per se more solito exclusis causis firmitatis; sed tunc propositio non valet quidem generaliter, succedit tamen in motibus uniformibus et in conatibus quibuscunque, ut eam concepimus.

Ponamus (fig. 200) duo corpora A, B aequalia aequalibus motibus parallelis et contrariis directionibus incidere in excipulas seu cavitates C et D in extremitatibus rectae CD positas, atque ita motus rectilineos in gyrum convertere, manifestum est centrum eorum G (quod in medio est rectae CD) ut quieverat ante gyrationem, ita et quiescere post eam, siquidem ipsam rectam velut molis expertem, aut si corporea est, ut centrum suum etiam in G habentem consideremus. Quod si corpora sint inaequalia aut inaequali celeritate ferantur, orietur collucatio quaedam, et quidem concurrentium motus ex hypothesi (et conatus semper) sunt rectilinei et uniformes, secundum leges motuum rectilineorum uniformium seu liberorum et per se evenientium hactenus ostensas, licet vel ab externa actione, vel ab obstaculo deinde mutentur.

Itaque perinde moveri conabuntur corpora A, B, pariterque eorum centrum gravitatis commune, ut leges supradictae jubent, adeoque centrum si prius quieverat adhuc quiescet, si prius movebatur, moveri porro conabitur aequabili motu in directum. Hi autem conatus non impediuntur in ipsa conversione motus rectilinei in circularem nisi differentia incomparabiliter parva seu inassignabili. Ponamus enim (fig. 201) punctum A conari progredi recta 1A2A, sed incidens in D extremum radii AD cogi circulari ac deflectere in (2A) seu 2D, et pro recta 1A2A describere arcum 1D2D; patet initio seu in ipsa mutatione motus recti in gyrum, directionem non mutari differentia majore quam quae est anguli contactus quovis rectilineo incomparabiliter minoris, et differentiam inter rectam 1A2A et arcum 1D2D esse ipsisi differentibus incomparabilem, ac proinde vim centrifugam (quae est ut ipsa recta 2A (2A), differentia scilicet radii A (2A) et secantis R2A) esse celeritate (quae est ut recta 1A2A) incomparabiliter minorem, adeoque initio pro nihilo habendam esse mutationem, quae demum in progressu continua repetitione fit notabilis; idemque est in caeteris omnibus punctis, quae a conatu rectlineo ad gyrum transeunt. Et punctum quod quiescere debet, si abesset gyrus, quiescet nunc quoque non obstante corporum gyro, quia ne initium quidem mutationis intelligi in ipso potest, et nulla existente 1A2A, multo magis nulla est deflexio et vis centrifuga, ipsaque adeo 2A (2A). Itaque si quiescit centrum gravitatis ante concursum, seu initio concursus, celeritatem progrediendi nullam habet, et proinde etiam ex vi concursus conatibusque inde ortis per se rectilineis celeritatem nullam habere debet, gyro quoque superveniente motum nullum habebit, neque adeo circulabitur, cum gyrum nihil aliud esse ostenderimus, quam motum per se rectilineum futurum, nunc inassignabili alteratione deflexum. Ex hoc ipso jam quod de quiescente centro ostendimus, conficitur idem et in moto. Quoniam enim ostensum est prop. 15 compositiones motuum rectilineorum seu hypotheseos variationes nil mutare in phaenomenis, ideo possumus talem assignare motum communem toti composito, ut perinde sit ac si omnia in navi ferantur, in qua spectanti quiescat centrum gravitatis, etsi absolute seu ex ripa immota spectanti eadem prodeant phaenomena quae antea. Jam in navi omnia fieri debent eodem modo, sive moveatur sive quiescat navis. Itaque in navi etiam post concursum gyro licet oriente quiescet centrum gravitatis, si ante concursum quievit, quemadmodum paulo ante ostendimus futurum esse, si navis motus abesset, seu centrum revera quiesceret absolute. Interim totum motu navis seu motu communi progredietur, et ita efficietur, ut extra navem spectanti centrum gravitatis, prout ante concursum supposuimus, aequabiliter porro progrediatur, atque ita absolute loquendo progrediatur ut ante sine ulla gyratione; caetera autem puncta (ut in navi) gyrantur circa ipsum centrum velut immotum, et praeterea simul cum ipso motu communi rectilineo progressionis totalis progrediuntur; quatenus autem gyrantur, compensant invicem progressus et regressus seu motus contrarios corporibus reciproce proportionales ex natura gyri, in quo utique latera opposita in contrarias partes feruntur, atqua ita semper vis respectiva conservatur; et si liberarentur omnia a gyro et directiones in tengentibus prosequerentur, haberent priores celeritates respectivas, quas ante gyrum habebant, et gyrantia utcunque divisa in duas partes haberent celeritates earum invicem recedendi corporibus reciproce proportionales et iis quas ante concursum habuerant aequales. Itaque ut in motibus rectilineis per celeritates contrarias corporibus reciprocas, ita et nunc in gyris oppositis per easdem eadem proportione distributas celeritates respectivae, adeoque et respectivae vires conservantur; dum interim motu communi centri gravitatis seu totius compositi motibus contrariis respective aequalibus superaddito praeter vim corporum agendi in se invicem, etiam ipsa vis agendi communis, seu vis progressiva totius compositi vel summa directionis totalis conservatur. Caeterum plures gygri particulares quoque fieri possunt in componentibus, ubi etiam centri cujusque particularis ratio habetur.

Res etiam ex praecedenti propositione ostendi poterat, hoc modo, quod ubique vires tam respectivae quam progressivae conservantur in motibus rectilineis uniformibus, tales autem sunt omnes (ex praecedenti), posito scilicet adhaesiones quoque seu firmitates et adeo aequidistantiam quoque a centro servatam ex insensibilibus impressionibus ambientium oriri. Sed quia ambientium impressiones a conatibus recedendi gyrantium compensantur nec inde quicquam viribus ipsis corporum insitis a motu rectilineo in gyrum versis derogatur, supereunt eaedem quae ante vires tam totales, quam respectivae, ut explicatum est. Quae sane admirandam nec satis consideratam hactenus Naturae in tuendis legibus constantiam atque harmoniam declaram. Videri poterat fallere regulas nostras, cum (fig. 202) corpus A in corpus aliquod immobile B incurrit; aut cum radius CD circa centrum firmum C mobilis, cavitate seu excipula D capit corpus E rectilineo motu adveniens, et in gyrum cogit; vel cum corpora F et G in libram HML, cujus centrum firmum M, brachia autem opposita HM, LM, incurrunt lineis FH, GL ab eadem parte librae (verbi gratia, ambo tenendo sursum aut ambo deorsum), sed in brachiis oppositis. Tunc enim reflecti potest corporum motorum centrum gravitatis (ut centrum ipsius A a corpore B repulsi), vel in gyrum se flectit, ut E incidens in excipulam D; vel denique reflectitur aut pergit pro ratione situs, ut centrum ipsorum F et G, quodsi incideret in M, reflecteretur.

Sed haec objectio solvi facile potest; praeterquam enim quod omne corpus perfecte firmum, si daretur, considerari debet ut infinitum respectu aliorum, unde centrum gravitates omnium commune in ipsum immobile cadit adeoque quiescit, sciendum est revera nullum esse corpus immobile; quod autem nobis tale apparet, ideo videtur eundem semper locum tenere, quia telluris globo aut alteri corpori magno adhaeret, quod quidem movetur loco nonnihil quantum postulant hae ipsae leges nostrae, sed motus ejus insensibilis ob summam tarditatem quam corporis magnitudo postulat percipi nullo modo potest. Idem est, si corpus aliquod firmum vi insensibilium corporum continue resistentium suum locum tueatur. Semper igitur verum manebit, et vim respectivam corporum invicem, et vim progressivam directionis totalis conservari. Hanc Naturae legem non consideravit quidam ex celeberrimis nostri saeculi Philosophis, dum putavit, ad cogitationes voluntatesque animarum non quidem mutari quantitatem motus, mutari tamen directiones motuum in corporibus. Sed hoc fuit non minuere, sed transferre tantum difficultatem. Neque enim Natura minore cura summam virium directricium, quam absolutarum (quas ille Philosophus cum quantitate motus confudit) conservare studet. Et fieri potest, ut concomitantia quadam (si ita appellare licet) a Conditore ab initio stabilita consentiant animarum et corporum actiones, etsi neutris leges alterius occasione minima ex parte violentur, quod mirum videri non debet, cum unaquaeque singularis substantia ita comparata sit, ut in notione sua completa totum Universum involvat, et secundum certos considerandi modos omnia per se ac velut sponte facere dici possit. Adde prop. 6. Sed ista quidem hujus loci non sunt.